物理方程D为轴对称问题的弹性矩阵(组图)

轴对称问题是空间问题的一个特例，在实际工程中存在大量的轴对称问题。飞轮、旋转压力容器、发动机气缸、烟囱和内压球壳等，无限和半无限弹性体在承受集中载荷时也可以视为轴对称问题。单元位移函数是指弹性平面问题的有限元方法。单元位移函数是一个几何方程。虽然点的位移发生在平面内，但垂直于平面的线元存在伸缩的可能。因此，轴对称问题的环应变不为零。几何方程 对于圆周应变，虽然没有圆周位移，但径向位移后A点到轴线的距离变为是一个几何多项式矩阵，表示为几何方程是[B]是几何矩阵（应变变换矩阵）。由于圆锥坐标也是物理多项式的正交坐标，因此对应的化学多项式为： 化学多项式 D 是轴对称问题的弹性矩阵： 刚度多项式（平衡多项式的等效方式） 等效节点载荷是针对轴对称问题问题，根据静态等效原理将轴对称施加的载荷和体积力转换到单元的节点上。载荷始终为轴对称载荷，即分布在圆周节点上的线载荷。将它们收集在一起称为轴对称问题的节点。加载。体力惯性力面力线载荷体积力惯性力面力线载荷其中(4-42)应力公式与上述轴对称三角形单元的对应公式相同，即(4-43) 但是 (4-44) 其中常数 (4-45) 当 r=0 时，即在对称轴上，可以用以下方式代替单元刚度矩阵，其中每个子矩阵为(4-47)去除(4-44)中的奇异项。

(4-46) 和 (4-48) 其中常数 A1、A2、A3 由 (4-45) ) . 等效节点力可根据下式估算 (1) 集中力设在单元径向坐标rc 作用于等效节点力的点上，该集中力位移到节点上, 可由下式计算，(Ni)c 为载荷作用点的形函数 Ni 的值。 (4-49)(2) 若体积单位的力是 等效的节点力 该力假设表面力作用在单元的某个边界上，其中 和 分别是单元表面力在作用边缘外的法线方向和切线方向的投影. 因此，这条边上每个节点的等效节点力如下： 估计： 式中，r可以代入式(4-36)的第一个公式。例如，是t对应边轴对称ppt，则 (4-51)(4) 如果温度应力为 考虑湿度变化形成的初始应变，则任意节点上的等效节点力为 (4-52)挠度计算公式(5-52)(浙江大学有限元P65)公式改写为(4-53)1.什么是轴对称问题？它的位移有什么特点？ 2. 尝试用线性位移模式定义一个三角环元素。 3. 三角环单元的挠度和应变特性。作业： 全局偏转矩阵 方程 (f) 可以用与平面问题相同的标准方式编写。这是求解节点位移的平衡方程。

(6-6) (g) 整体偏转矩阵也可以分块写成子矩阵和平面问题一样的块。整体偏转矩阵是一个对称带状稀疏矩阵。去掉质心位移后就是元子 方程右边的载荷阵列展开为 (b) (a) 与平面问题一样，等效节点力也由集中力、面力和作用在环形单元上的体积力位移原理也是基于这个力所做的虚功和等效节点力对任意虚位移的作用相等，即等效节点载荷公式中，rc是集中的载荷作用点 的径向坐标。将上节（b）式代入上式，认为上式可转化为向节点位移的环状元上的集中力的等效节点力。 ,秒第一项为环形单元上表面力的等效节点力，第三项为环形单元体积力的等效节点力。 (c) 使用与平面问题中相同的符号： 等效于集中力 节点力 等效节点力 体力 等效节点力 (6-9) (6-7) (6-8) 集中力 等效节点力面) 等效节点力 等效节点力 体力 (i) (ii) (iii) 笛卡尔坐标 所以方程（c）可以改写为 再将上式代入方程（ a)，等效载荷数组可写为 (6) -8), (6-9) 和 (ii), (iii) 对比可以看出，在轴对称的情况下, 积分符号后的被积函数比平面问题多一个变量 r，所以即使采用线性位移方式轴对称ppt，也无法像平面内一样通过质心静态等效原理得到节点的等效效果问题。

(d) (e)1. 体力（1) 自重。在这种情况下；其中是密度。然后元素的自重被位移到节点 i、j、m等。有效节点力是一个类似于等参单元的坐标变换公式，将r写为(f')(f)，这样就可以代入式(f)，即如果单元距离对称轴较远，可以认为有 1/3 的自重位移到每个节点上。(4-20)(2) 离心力。在这种情况下，其中为角速度，则单元的离心力位移到节点 i,j 上，m 上的等效节点力记为 (f') 式，代入 (g) 式可得 (4-2 1) (g)2. 面力设在 rz 平面上的单元 ijm 的 ij 侧有一个线性分布的径向面力，在这种情况下，等效节点力为节点 i 是 (h) 注意在 ij 侧，那么积分是 代入式(h)可得 ( 4-22) 类似推论可得节点 j 和 m 上的等效节点力 (4-23) (4-24)两种特殊情况）（1)只有当元素远离对称轴时，才可以认为大致相等，此时可以从公式（4-2< @5);也就是说，2/3 的表面力通过 Set 转移到节点 i，1/3 转移到节点 j。 (4-25)(2)显然，只有当元素远离对称轴时，才能感觉到大致相等，那么从上式得到一个简单的结果；即1/2的面力转移到节点i，1/2转移到节点j。

需要注意的是，轴对称问题中的节点力实际上是整个节点圆上的力，这与平面问题不同。 (4-26)在§4-3中，我们推导出单元刚度矩阵，可以定义为三个2×2的子矩阵，即因为子矩阵与坐标r和z, 上式 , 的积分不能像平面问题那样简单，为了防止复杂的积分运算，将坐标 r 和 z 替换为 §4-3 中的元素质心坐标，近似挠度矩阵推导(4-12)公式。现在我们推导精确的挠度矩阵。为此，将子矩阵分为两部分 (a) 精确的挠度估计，通过代入元素质心坐标得到如 §4-3 是其中的变化部分，从公式 (4-7) 可以看出 (b) 将公式 (a) 代入公式 (4-11)@ >，注意到矩阵的元素和常数，它们可以指代外面的积分符号，和(c)这样可以将公式(c)转化为第一项给出的近似挠度矩阵，公式(4-12)，第二项是其修正部分(4-30)(4-31)上式使用简写记法 (4-32) 根据 (4-3) 公式估计修正) 项必须先找到In，即必须要求上述三个积分，其积分面积在三角形 ijm 上（左图）。进行具体积分时，可以对三个矩形进行，上面的两个矩形。面积分数的总和除以第三个矩形面积分数。

经过运算和排序，公式(4-33)中的&表示大括号中的i、j、m对旋转后相减。(4-33) (4-34)使用(4-33)公式进行估计，有两种特殊情况会出现奇点。一种情况是当单元的节点i位于对称轴上时(即ri=0），所以(4-33))中包含对数的项变成0×∞。这个的极限可以通过罗伯塔(L')规则来确定，其实这个极限永远为零。因此，如果单元的某个节点的r为零，只需去掉其对应的对数项即可。第二种情况是当两个节点的半径为方向坐标相等时，为例如rj=rm，即ci=0；此时对应的Amj和Bmj变为无穷大，用(4-33)公式估计会比较困难。但是，在这个case ，梯形的面积等于0，所以不需要int jm（上一页下图），我们只需要使系数 Amj 和 Bmj 等于 0。结合以上两种情况，公式 (4-34) 可以改写 估计中的奇异性通过以下方式去除，即 (4-35) 对于对称性上有两个节点的元素轴，比如节点i和j，那么ri=rj=0，此时不仅子矩阵，其他子矩阵的积分也是发散的。但是，由于此时ui=uj=0 ，则偏转矩阵中的2i-1行2i-1列和2j-1行2j可以只是-1列被划掉。

因此，在估计过程中，可以统一应用公式(4-35)，得到公式(4-33)右侧的有限值。这些待划除的行和列中出现有限值，因此，不影响估计的正确性。事实上，某些情况表明，对于主对角线，精确偏转矩阵和近似偏转矩阵元素，修正影响不大，修正项在精确挠度矩阵的对应元素中 对于非主对角元素，部分元素的修正项比例可以达到 33%，但对位移和挠度的估计。如果用较大的单元进行相同的估计，则结论基本相同。因此，近似的挠度矩阵（在单元不是很大的情况下）完全在所需的工程偏差范围内（ 5%）在位移方面和偏转可以使用。然而，使用近似等效节点力通常对估计结果的影响更大。因此，使用精确的等效节点力在实际估计中是有意义的。事实上，原来的三角环单元现在会使用八结位移公式和平面八节点等参的位移公式相同，即坐标变换公式和位移模式分别有以下方法（4-3< @6) 应变估计公式 (4-37) 其中符号 和 分别表示 Ni 对 r 和 z 的偏导数 (4-39) (4-38) 其中和就是 (3-29) 公式，矩阵是雅可比矩阵的逆雅可比行列式是 (4-41) (4-40) * *有限元分析内容定义轴对称问题基本多项式挠度矩阵等效节点载荷要求理解：几何、约束、外力掌握：轴对称元素解剖作业轴对称元素矩阵推导第6章轴对称基础回顾连续体有限元分析的基本过程整体离散元分析元a 整体 解 连续体 结构 人工 节点 逼近 离散 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 元素节点位移 Fmy Fmx Fjy Fiy Fix i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e Fjx y x o 单元 等效节点力单元 挠度多项式三角形单元 解剖学复习目的：对于三角形单元，建立节点位移和等效节点力的转换关系。

vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 元素节点位移 Fmy Fmx Fjy Fiy Fix i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e Fjx y x o 单元等效节点力 ~ ?复习三角元分析流程 元分析(1）节点位移内部节点位移 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 解：插值(切片插值的制定） 形状函数矩阵 形状函数（shape） 复习下标 i、j、m 其中交替：元素分析过程（2）内部节点位移和应变复习解：弹性热几何方程[B]矩阵称为应变矩阵，必须以恒应变单位代入单元。单位分析过程（3）应变应力复习解：弹性热数学方程必须代入[S ] 矩阵称为挠度矩阵。例：对于平面应力问题代入轴对称问题的定义。物体中的所有挠度、应变和位移都关于轴对称，这类问题称为轴对称问题嗯。因此，描述轴对称问题的基本变量为上述10个，即2个位移分量、4个挠度分量和4个应变分量。

基本变量和基本多项式用于检验以A点为顶点的微元。如图所示，由于没有扭转，沿圆周方向的剪应力之和为零，因此只有四个应力分量作用在微元上。 ，即对应的四个应变分量是两个位移分量，是公式中三角形单元各分量方向的示意图。旋转体是一个三维空间问题。对于轴对称问题，旋转体中任意一点的位移都发生在平面内。因此，对于平面内的应变分量，显然有一个几何矩阵可以写成一个物理多项式然后是一个物理方程，其中 dV=rdθdrdz 现在，利用虚功原理推导出一个平面上任意元素的挠度矩阵轴对称结构。根据虚功原理：三角形截面的环形单元体积所吸收的虚变形能应等于单元节点力所做的虚功：如果单元的虚位移为，则单元的虚应变为元素为(a) (b) 元素 刚度矩阵 将上式代入(a)中，注意由于虚拟位移是任意的，所以有(d)上式右边加上元素节点的矩阵位移数组是单元刚度矩阵，也可以写成如下分块法，其中子矩阵为(6-3) (6-1) (6-2)因为坐标r,z出现在轴对称问题的矩阵中，所以公式(6-3)的积分运算比平面问题要复杂得多。现在坐标代换矩阵中的坐标r和z仍取元素质心的第一近似值，并且得到一个近似的单元刚度矩阵。 此时，(6-3) 公式变为 (6-4)) 对于整体挠度矩阵，如果将弹性体定义为 ne 个元素和 n 个节点，则可以得到 ne 个类型如(d)的方程组与平面问题的情况完全相似，将每个元素的维数、 、 等展开为整个结构自由度的维数，然后叠加得到( f) 引入符号：load Array (6-5)